Имена бесконечности. Правдивая история о религиозном мистицизме и математическом творчестве
Издательство ЕУ СПб
2. КРИЗИС В МАТЕМАТИКЕ …я представляю себе теорию множеств, Men genlehre, где существуют и действуют бесконечные величины, исчерпать которые не в силах даже бессмертный, трать он на их исчисление за вечностью вечность, и чьи призрачные династии зашифрованы буквами еврейского алфавита. В этот тончайший из лабиринтов мне не ступить вовек. Хорхе Луис Борхес. Нихон. Мадрид, 1981** Примерно в то время, когда русское православие терзалось богословской проблемой имяславия, в сфере математики также царил беспорядок, вызванный тем, что немецкий математик Герман Вейль впоследствии назовет «Grundlagenkrise der Mathematik» (кризисом оснований математики). Две истории, столь разные по своим истокам, сошлись вместе почти столетие тому назад в спорах Дмитрия Егорова и Николая Лузина со своими французскими коллегами. Вскоре даст о себе знать различие между французским и русским подходами. Кризис в математике был вызван возникновением и становлением в Германии в последнее десятилетие XIX века теории множеств. «Множество» — совокупность объектов, обладающих определенным свойством и имеющих «имя». Например, множество всех жирафов в Северной Каролине можно назвать «жирафы Северной Каролины». У него конечное число элементов. Своим описанием это множество отличается от множества всех цветов в вашем саду или от множества всех жителей Кипра, но в любом случае число элементов такого множества конечно. Более интересны множества с бесконечным числом элементов, например множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6…), впоследствии получившее обозначение N, где скобки означают, что подразумевается весь потенциально бесконечный ряд натуральных чисел. Множество всех точек на отрезке тоже бесконечно, но это бесконечность другого рода. Такие примеры поднимают вопрос об определении «бесконечности», чего математики не сумели сделать на протяжении более чем двух тысячелетий. Тем не менее, заметил Вейль, «математика — это наука о бесконечности». Теория множеств пытается выявить структуру, пригодную для любого фрагмента математики, и определение бесконечности — решающий момент в ее разработке. Большинство нематематиков считают, что у них есть определенное представление о том, что такое «бесконечность»; наверняка они скажут: «Это то, что не имеет конца или предела». Для математиков проблема бесконечности оказалась очень непростой. Споры о бесконечности сыграют важную роль в нашей истории о русских и французских математиках начала XX века. Как определить бесконечность? Существует ли она в действительности или является абстракцией? Имеется ли всего одна «бесконечность» или их несколько, возможно, очень много? Может ли какая-то бесконечность быть «больше», чем другая? Немецкий математик Георг Кантор, глубоко исследовавший эти вопросы, создал теорию множеств. Кантор сумел наконец дать математическое определение бесконечности после 2500 лет безуспешных попыток философов и ученых, и окончательный итог его трудов заключался в том, чтобы превратить теорию множеств в lingua franca математики. Развитие концепций бесконечности в истории культуры до и после Кантора свидетельствует о высочайшем уровне его достижений. Первый проблеск идеи бесконечности возник, вероятно, на самой заре цивилизации. Возможно ли вполне оценить значение первых нетривиальных мыслей наших далеких предков, которые бросали взгляд на ничем не ограниченный горизонт и переживали время, непрерывно устремляющееся из прошлого в неизвестное и устрашающее будущее? Когда они сумели прийти к идее безграничности пространства и времени? Сочетали ли они с самого начала эту идею с понятием безграничной силы, пребывавшей над ними божественной или сверхчеловеческой сущности? Божественное совершенство стало в конце концов синонимом всемогущества, безмерной мощи. Являлась ли бесконечность божественной привилегией с самого начала? Скорее всего, мы об этом никогда не узнаем, зато у нас есть ключ к этой тайне в одном древнегреческом слове, сочетающем в себе все эти понятия: апейрон (аpeiron). Это слово из первого философского трактата на греческом языке, принадлежащего Анаксимандру из Милета (610–540 гг. до н. э.). Он описал пребывающий в основе всех вещей принцип как апейрон, «беспредельное», «неопределенное», «лишенное границ, формы и качества». Это слово изначально содержит противоречие: оно пытается выразить то, что невыразимо (неописуемо). На Германа Вейля, одного из ведущих математиков первой половины XX века, сильнейшее впечатление произвела история о школе Пифагора (569–500 гг. до н. э.) и ее увлеченности идеей бесконечности. Он писал: Помимо того, что математика является подручным инструментом естествознания, чистое математическое исследование, согласно мнению многих великих мыслителей, своим особым характером, безусловностью и строгостью приближает человеческий разум к божественному в большей мере, чем это способен сделать любой другой посредник. Математика — это наука о бесконечности, ее цель — символическое постижение бесконечности человеческими, то есть конечными средствами. Великим достижением было преобразование полярной противоположности конечного и бесконечного в мощное и плодотворное орудие познания действительности. Воспринятая на Востоке религиозная интуиция бесконечности, апейрон, овладела греческой душой. Напряжение между конечным и бесконечным и усилия по их примирению стали отныне движущей силой греческого исследования. Слова Вейля «воспринятая на Востоке» несомненно указывают на те годы, которые Пифагор, как полагают, провел в Египте, изучая мистические арифметические и геометрические учения жрецов Мемфиса. Греческое слово апейрон содержало три главные идеи, сохранившиеся и в последующие столетия: • неограниченность пространства и времени • иррациональный, религиозный, мистический аспект бесконечности • неопределимость и неописуемость бесконечности Все три характеристики негативны и определяют то, чем бесконечность не является (неограниченная, нерациональная, неопределимая), а не то, чем она является. Аристотель (384–322 гг. до н. э.) ввел различие, которое стали принимать и позднее: бесконечность — это потенциальность, а не актуальность. Он обратил внимание на то, что, если взять отрезок (одномерное пространство), его можно разделить пополам, получившуюся половину еще раз пополам, и так до бесконечности. Как он заметил, «всегда возможно помыслить большее число: величину можно делить бесконечное количество раз. Следовательно, бесконечность потенциальна, а не актуальна; число частей, которое может быть взято, превосходит любое наперед взятое число».* Подход Аристотеля господствовал на протяжении столетий. На нем основано дифференциальное исчисление и прочие математические операции с бесконечностью вплоть до времен Кантора. Даже сейчас идея бесконечности как потенциальности является интуитивным представлением непрофессионала, которому известно, что для любого заданного числа можно указать число, больше его. Споры о бесконечности нередко приводили к парадоксам и антиномиям. Аристотель упоминает один из парадоксов Зенона о невозможности быстрого бегуна догнать медленного, который бежит впереди него: ...самое медленное [существо] не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему необходимо прежде прийти в то место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то [расстояние] опережать [преследующего]. В ситуации преследования расстояние между преследуемым (обычно упоминаемым как «черепаха») и преследователем («Ахиллес») становится все меньше и меньше; но если описывать преследование как последовательность моментов, в которые Ахиллес оказывается в том месте, где черепаха была до него, это расстояние никогда совсем не исчезнет. Таким образом, всякий понимает, что быстрый бегун догонит медленного, и однако же, согласно аристотелевскому изложению аргументации Зенона, не может этого сделать; что и приводит к парадоксу. Подобные парадоксы не так-то просто разъяснить или опровергнуть. Бертран Рассел назвал их безмерно коварными и глубокими, споры о них возникают до сих пор. Возьмем, например, нестандартное решение, предложенное Александром Есениным-Вольпиным, русским логиком, представителем школы ультрафинитизма, который был помещен в Советской России в психиатрическую больницу. Однажды Есенина-Вольпина спросили, как подсчитывать члены геометрической прогрессии числа 2: 21, 22, 23… 2100. Он ответил, что вопрос «нуждается в уточ-нении». Тогда у него спросили, считает ли он, что число 21 «реально», и он незамедлительно ответил утвердительно. Затем его спросили, «реально» ли число 22. Он снова ответил «да», однако заметно медленнее. Тогда у него спросили о числе 23, он тоже отвечал «да», но еще медленнее. Подобные вопросы продолжались, пока не стало понятно, каким образом Есенин-Вольпин отвечает на них. Он всегда говорит «да», но о числе 2100 его ответ займет в 2100 больше времени, чем о числе 21. Так Есенин-Вольпин продемонстрировал свой собственный способ обращения с парадоксом бесконечности. Отчасти из-за этих парадоксов древние греки страшились бесконечности; так, слово апейрон нередко приобретало негативные ассоциации, вроде «бесформенного хаоса» — то, чего следует избегать. Аристотелево описание бесконечности как «потенции», а не «актуальности» — один из способов обращения с этой проблемой. По Аристотелю, бесконечность можно помыслить, но с ней нельзя иметь дело.